Alex au Pays des Nombres

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Prendre par la main les gens qui souffrent depuis l’enfance d’allergie aux mathématiques et les emmener aux pays des merveilles numériques, telle est l’ambition d’Alex Bellos dans son livre « Alex’s adventures in Numberland, Dispatches from the Wonderful World of Mathematics » (Bloomsbury 2010).

« Les nombres n’ont probablement pas plus de 10.000 ans, au sens d’un système de mots et de symboles qui fonctionne ». Le chapitre zéro du livre (tout un symbole !) nous emmène dans la tribu des Munduruku en Amazonie, qui ne dispose des nombres que jusqu’à cinq. Au-delà, ils utilisent des approximations et des ratios : cet arbre a plus de fruit que celui-là. Ils ont un « instinct logarithmique » qui aplatit les différences entre les petites et les grandes quantités, le même qui nous fait minimiser la différence entre un millionnaire (riche) et un milliardaire (très riche) alors qu’un facteur mille les sépare.

Alex Bellos s’intéresse ensuite à la manière de désigner les chiffres et les nombres. Il remarque qu’alors que le chinois, le japonais et le coréen désignent les nombres au-delà de dix de manière régulière (ils disent dix-un pour onze et dix-deux pour douze), les appellations occidentales sont irrégulières, ce qui présente un extrême intérêt pour les historiens mathématiques. « Le mot français pour 80 est « quatre-vingt », indiquant que les ancêtres des français utilisaient autrefois un système à base vingt. On a aussi suggéré que la raison pour laquelle les mots pour « 9 » et « neuf » sont identiques ou similaires dans de nombreuses langues indo-européennes, y compris le français (neuf, neuf) l’espagnol (nueve, nuevo), l’allemand (neun, neu) et le norvégien (ni, ny) est l’héritage d’un système à base huit oublié depuis longtemps, dans lequel la neuvième unité serait la première d’une nouvelle série de huit. »

L’invention du zéro

Les mathématiques ont commencé en Grèce avec la géométrie de Pythagore et Euclide, ce dernier révélant une beauté profonde dans un système indiscutable de vérités invariables dans l’espace et le temps. Les origamis (pliages) japonais continuent la tradition de l’émerveillement devant les harmonies simples de la géométrie.

Le passage à l’algèbre a été rendu possible par l’invention en Inde du zéro. Alex Bellos montre comment les symboles utilisés par les Romains étaient à la fois contraires au sens commun (VIII est plus petit que IX, qui comporte moins de signes) et inadéquats pour le calcul. Les Indiens inventèrent un système dans lequel les unités, dizaines, centaines avaient leur place marquée par la succession des chiffres. Lorsqu’il n’y avait rien, ils laissaient un espace vide ; puis ils inventèrent un symbole pour le vide. Les arabes l’appelèrent « zéphyr », ce qui donna zéro, mais aussi chifre (chiffre) en Portugais et cipher en anglais (code).

« Les Grecs, dit Bellos, firent de fantastiques découvertes mathématiques sans le zéro, sans nombres négatifs ou fractions décimales. C’est parce qu’ils avaient une compréhension par-dessus tout spatiale des mathématiques. Pour eux, il était aberrant que rien puisse être « quelque chose ». Pythagore n’était pas plus capable d’imaginer un nombre négatif qu’un triangle négatif ».

« La philosophie indienne avait embrassé le concept de néant exactement comme les mathématiques indiennes avaient embrassé le concept de zéro. Le saut conceptuel qui conduisit à l’invention du zéro se produisit dans une culture qui acceptait le vide comme l’essence de l’univers ».

La beauté des mathématiques

Le livre d’Alex Bellos est un hymne à la mathématique. Il s’émerveille des propriétés de la série de nombres découverte par Leonardo Fibonacci dans son Liber Abaci, publié en 1202, où chaque nombre est la somme des deux qui le précèdent. Il célèbre le Pi (π), dont les ordinateurs calculent maintenant mille milliards de décimales, offrant à l’industrie et aux sondeurs une inépuisable réserve de chiffres au hasard. Il décrit les propriétés étonnantes du « nombre magique », 1,618, qui définit une proportion respectée par un grand nombre d’objets d’arts et de produits industriels. Il évoque les grands jeux mathématiques d’aujourd’hui, du Rubiks Cube au Sudoku.

Il s’attarde longuement sur les probabilités et leur application aux casinos et à l’assurance. « Acheter une police d’assurance est un jeu à espérance négative, et comme tel c’est un mauvais pari. Alors pourquoi est-ce que les gens prennent de l’assurance si c’est une si mauvaise transaction ? La différence entre l’assurance et le jeu dans un casino est que dans un casino vous jouez (ou vous devriez jouer) avec de l’argent que vous pouvez vous permettre de perdre. Avec l’assurance, cependant, vous jouez pour protéger quelque chose que vous ne vous pouvez pas vous permettre de perdre. »

La beauté des mathématiques, c’est leur capacité à créer, dans leur dynamique propre, des mondes à l’opposé de nos intuitions. Un exemple est le logarithme, inventé au dix-septième siècle. « Comment peut-on multiplier 10 par lui-même une fraction de fois ? Bien sûr le concept est non intuitif lorsqu’on imagine ce qu’il pourrait signifier dans le monde réel ; mais le pouvoir et la beauté des mathématiques est qu’on n’a pas besoin de se préoccuper de la signification au-delà de la définition algébrique. Le logarithme de 6 est 0,778 à la troisième décimale. En d’autres termes, quand nous multiplions 10 par lui-même 0,778 fois, nous obtenons 6. »

Il en va de même du concept de courbure de l’espace, inventé par Bernhardt Riemann et qui ouvrira la voie à la théorie de la relativité, et à la découverte par Georg Cantor qu’il y a des infinis plus grands que d’autres. « Après Riemann et Cantor, les maths ont perdu leur connexion avec quelque appréciation intuitive du monde que ce soit (…). Cantor nous a emmené au-delà de l’imaginable, et c’est un assez bel endroit ».

Illustration : couverture du livre d’Alex Bellos.